Si las potencia son absorbidas por dos resistencias iguales, entonces
El término “dB” ha llegado a ser tan popular que ahora se usa para razones de voltaje y corriente, como se ilustra en la ecuación anterior, haciendo caso omiso de la impedancia empleada en cada caso.
En el caso senoidal en estado estable, H(j?) puede escribirse en general como:
Recuerde que s=j? y ?=1/?, entonces la ecuación anterior se puede escribir como:
Observe que ambas ecuaciones contienen los siguientes factores típicos:
1. Un factor Ko>0 independiente de la frecuencia.
2. Polos o ceros en el origen de la forma j?, es decir, (j?)+N para ceros y (j?)-N para polos.
3. Polos o ceros de la forma (1+j??).
4. Polos o ceros cuadráticos de la forma 1 + 2?(j??) + (j??)2.
Tomando el logaritmo de la magnitud de la función H(j?) se obtiene:
20log10|H(j?)| = 20log10Ko ? 20Nlog10|j?| + 20log10|1+j??1|
Observe que hemos usado el hecho de que el logaritmo del producto de dos o más términos es igual a la suma de los términos individuales, el logaritmo del cociente de dos términos es igual a la diferencia de los logaritmos individuales, y el hecho de que log10An = nlog10A.
El ángulo de fase para H(j?) es:
+ 20log10|1+2?3(j??3)+(j??3)2| + ?
– 20log10|1+j??a| – 20log10|1+2?b(j??b)+(j??b)2| – ?
|H(j?) = 0 ? N(90º) +tan-1??1
Examinemos algunos de los términos individuales e ilustremos una manera eficiente de graficarlos en un diagrama de Bode.
El diagrama de magnitud es una línea horizontal puesta a:
0 dB si |Ko| = 1
bajo de 0 dB si |Ko| < 1
arriba del 0 dB si |Ko| > 1
Funciones con frecuencia invariante (Termino constante)
H(s) = Ko, entonces |H(s)|dB = 20log10Ko
El diagrama de fase es una línea horizontal puesta a:
0o si Ko es positiva
-180º si Ko es negativa
El diagrama de magnitud es una línea con pendiente de +20 dB/década sobre todo el rango de frecuencias, para el caso de un cero. Si ?/?o = 1, la curva pasa por 0 dB.
Funciones con raíces en el origen (polos o ceros en el origen)
H(s) = (s/?o)?1, el signo + si la raíz es un cero y el signo – si la raíz es un polo
|H(s)|dB = ?20log10(?/?o)
El diagrama de magnitud es una línea con pendiente de -20 dB/década sobre todo el rango de frecuencias, para el caso de un polo.
?20 dB/dec = ?6 dB/oct
El diagrama de fase es una línea horizontal a +90º sobre todo el rango de frecuencias, para el caso de un cero.
El diagrama de fase es una línea horizontal a -90º sobre todo el rango de frecuencias, para el caso de un polo.
El diagrama de magnitud tiene dos asíntotas, una de baja frecuencia (a.b.f) y una de alta frecuencia (a.a.f).
a.b.f |H(s)|=0 para ?/?o ? 1
a.a.f |H(s)|=?20log10(?/?o) para ?/?o ? 1
Funciones de raíces reales negativas (polo o cero simple)
H(s) = (s/?o+1)?1, el signo + si la raíz es un cero y el signo – si la raíz es un polo
|H(s)|dB = ?20log10[1+(?/?o)2]
para ?/?o = 1
|H(s)|dB=?3dB
El diagrama de magnitud tiene dos asíntotas, una de baja frecuencia (a.b.f) y una de alta frecuencia (a.a.f).
a.b.f |H(s)|=0 para ?/?o ? 1
a.a.f |H(s)|=?20log10(?/?o) para ?/?o ? 1
para ?/?o = 1
|H(s)|dB=?3dB
El diagrama de fase tiene dos asíntotas, una de baja frecuencia (a.b.f) y una de alta frecuencia (a.a.f).
a.b.f ?H(s)=0o para ?/?o ? 0.1
a.a.f ?H(s)=?90º para ?/?o ? 10.
Para 0.1 ? ?/?o ? 10 existen pendientes de ?45º
para ?/?o = 1
?H(s) =?45º
para ?/?o = 0.1 y ?/?o = 10 la fase tiene desviaciones de cerca 6º.
El diagrama de fase tiene dos asíntotas, una de baja frecuencia (a.b.f) y una de alta frecuencia (a.a.f).
a.b.f ?H(s)=0o para ?/?o ? 0.1
a.a.f ?H(s)=?90º para ?/?o ? 10.
Para 0.1 ? ?/?o ? 10 existen pendientes de ?45º
para ?/?o = 1
?H(s) =?45º
para ?/?o = 0.1 y ?/?o = 10 la fase tiene desviaciones de cerca 6º.
El diagrama de magnitud tiene dos asíntotas, una de baja frecuencia (a.b.f) y una de alta frecuencia (a.a.f).
a.b.f |H(s)|=0 para ?/?o ? 1
a.a.f |H(s)|=?40log10(?/?o) para ?/?o ? 1
Funciones con pares de raíces complejas (polos o ceros cuadráticos)
H(s) = [(s/?o)2+2?(s/?o)+1]?1, el signo + si la raíz es un cero y el signo – si la raíz es un polo
|H(s)|dB = ?10log10{[1+(?/?o)2]2+[2?(?/?o)]2}
H(j?) = [1-(?/?o)2+2?j(?/?o)]?1
El diagrama de fase tiene dos asíntotas, una de baja frecuencia (a.b.f) y una de alta frecuencia (a.a.f).
a.b.f ?H(s)=0o para ?/?o ? 0.1
a.a.f ?H(s)=?180º para ?/?o ? 10.
Para 0.1 ? ?/?o ? 10 existen pendientes de ?90º
Las aproximaciones en línea rectas (asíntotas), para este caso son satisfactorias para ? cerca 1/?2, pero para pequeños valores de ? debemos aplicar correcciones para reflejar la presencia de un pico. Estas correcciones son hechas en los siguientes puntos significantes.
1) a la frecuencia de corte, es decir, ?/?o = 1,
entonces |H(s)|dB = ?20log102?
2) a la frecuencia donde se da el pico, ?/?o = ?(1-?2),
entonces |H(s)|dB = ?10log10[4?2(1-?2)]
3) una octava debajo de la frecuencia de corte, es decir ?/?o = 1/2,
entonces |H(s)|dB = ?10log10(?2+0.752)
4) a la frecuencia a la cual la curva de magnitud cruza el eje de 0 dB, ?/?o = ?[2(1-2?2)]
5) a la fase, una octava debajo de la frecuencia de corte, es decir, ?/?o = 1/2, entonces ?H(s) = ?tan-1(?/0.75)
6) a la fase, una octava arriba de la frecuencia de corte, es decir, ?/?o = 2, entonces ?H(s) = ?[180-tan-1(?/0.75)]
En las siguientes Figuras se muestran los puntos de las correcciones que se deben hacer
Como estamos usando una hoja milimetrada, es necesario introducir la definición de intervalo de década o llamado también ciclo. Dado un valor de frecuencia específica dentro del ciclo 10n ? ? ? 10n+1 rad/s, su localización “l” dentro del ciclo es:
Múltiples raíces
Si una raíz o una pareja de raíces complejas tienen multiplicidad r, entonces el término correspondiente tiene la forma Hr. Así tenemos:
|Hr(j?)|dB = r*|H(j?)|dB
?Hr(j?) = r*?H(j?)
Localizar 320 rad/s, y 2000 rad/s
Ejemplo
Solución
102 rad/s ? 320 rad/s ? 103 rad/s, entonces:
103 rad/s ? 2000 rad/s ? 104 rad/s, entonces:
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